最小二乗法(5) 線形近似
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前回言った通り、の場合について実際に解いてみる。
この場合のモデル関数は、あえて書くなら次のようになる。
もちろん、
である。
このとき、行列形式の正規方程式は、
ただし、
であった。
実際の係数がほしいだけなら、これに数値を入れて計算すればいい。
今回は、係数の誤差の式を求めるのに、各係数がにどのような依存をしているかを知る必要があるので、を使う形のまま解く。
次のような拡大係数行列
を行基本変形してを求める。(掃き出し法)
(もちろん解さえ求まるなら方法は問わない。私は最初にやった時はクラメルの公式を使った)
結論を先に言えば、
となる。
一応、以下に行基本変形の過程を逐一書いておく。わかる人には読むだけ時間の無駄だと思う。
まず1行目にを掛ける。(なので、)
次に、2行目にを掛ける。(なので、「すべての測定値が0」でない限り)
1行目に、2行目の(-1)倍を加える。
1行目にを掛ける。
2行目に、1行目の()倍を加える。
2行目にを掛けて、
(とする。最初から計算し直せばわかるがでも答えに影響はない)
よって、