横に動ける二重振り子(1) ラグランジアンを立てる
友達からこんな物理モデルの運動をアニメーションできないかと言われた。
振り子の下にもう一つ振り子をつなげた、いわゆる二重振り子というやつである。
ちょっと普通と違うのは、この振子は一番上が方向に動くことである。
(x軸という棒に輪っかを通して、そこに二重振り子を結びつけたと考えればいいだろう)
何はともあれ運動方程式を立てないとどうにもならないので、立ててみる。
二重振り子の問題はラグランジアンで解くと相場が決まっているので、ラグランジアンを考える。
一般化座標として、一番上の点の座標である、上の振子と鉛直方向がなす角,下の振子と鉛直方向がなす角の計3つ(図参照)を用いる。
結論を先に書いてしまうと、
この後はつらく苦しい導出過程。
まず、運動エネルギーを導出すべく、いったん直交座標でのおもりの位置を記述してみる。の座標をそれぞれという感じで書くと、
これらを時間で微分する。
とする。
運動エネルギーを求めたいのだが、その前に準備をしておく。
このとき、運動エネルギーは、
また、ポテンシャルは、
ゆえに、ラグランジアンは、