equal_l2’s blog

※記載されている内容の正確性は保証しませんが、間違いを指摘していただければ直します。

横に動ける二重振り子(1) ラグランジアンを立てる

友達からこんな物理モデルの運動をアニメーションできないかと言われた。
\def\to{{\theta}_1} \def\tt{{\theta}_2} \def\lag{{\cal L}}
f:id:equal_l2:20150420212540p:plain
振り子の下にもう一つ振り子をつなげた、いわゆる二重振り子というやつである。
ちょっと普通と違うのは、この振子は一番上がx方向に動くことである。
(x軸という棒に輪っかを通して、そこに二重振り子を結びつけたと考えればいいだろう)

何はともあれ運動方程式を立てないとどうにもならないので、立ててみる。

二重振り子の問題はラグランジアンで解くと相場が決まっているので、ラグランジアンを考える。
一般化座標として、一番上の点のx座標であるx、上の振子と鉛直方向がなす角\to,下の振子と鉛直方向がなす角\ttの計3つ(図参照)を用いる。

結論を先に書いてしまうと、
\begin{eqnarray}
\lag &=& \frac{M}{2}
  \left(
    \dot{x}^2 + 2 l_1
    \left(
      \dot{\to} \dot{x} - g
    \right)
    \cos{\to} + l_1^2 \dot{\to}^2
  \right)+ \\

  && \ \ \ \ \
\frac{m_2}{2}
  \left(
    l_2^2 \dot{\tt}^2 + 2 l_2 \left( \dot{\tt}\dot{x} - g \right) \cos{\tt} + 2 l_1 l_2 \dot{\to}\dot{\tt} \cos{(\to - \tt)}
  \right)
\end{eqnarray}
この後はつらく苦しい導出過程。

まず、運動エネルギーを導出すべく、いったん直交座標でのおもりの位置を記述してみる。m_1x,y座標をそれぞれx_1,y_1という感じで書くと、
\left\{\begin{eqnarray}
x_1 &=& x + l_1 \sin{\to} \\
y_1 &=& -l_1 \cos{\to}
\end{eqnarray}\right.


\left\{\begin{eqnarray}
x_2 &=& x_1 + l_2 \sin{\tt} \\
y_2 &=& y_1 -l_2 \cos{\tt}
\end{eqnarray}\right.

これらを時間で微分する。
\left\{\begin{eqnarray}
\dot{x_1} &=& \dot{x} + l_1 \dot{\to}\cos{\to} \\
\dot{y_1} &=& l_1 \dot{\to}\sin{\to}
\end{eqnarray}\right.

\left\{\begin{eqnarray}
\dot{x_2} &=& \dot{x_1} + l_2 \dot{\tt} \cos{\tt} \\
\dot{y_2} &=& \dot{y_1} + l_2 \dot{\tt} \sin{\tt}
\end{eqnarray}\right. \\

M = m_1 + m_2 とする。
運動エネルギーを求めたいのだが、その前に準備をしておく。
 \begin{eqnarray}
\dot{x_1}^2 + \dot{y_1}^2
&=&
\left(
  \dot{x}^2 + 2 l_1 \dot{\to} \dot{x} \cos{\to} + l_1^2 \dot{\to}^2\cos^2{\to}
\right)+
l_1^2 \dot{\to}^2\sin^2{\to} \\

&=&
\dot{x}^2 + 2 l_1 \dot{\to} \dot{x} \cos{\to} + l_1^2 \dot{\to}^2 \\ \\

\dot{x_2}^2 + \dot{y_2}^2
&=&
\left(
  \dot{x_1}^2 + 2 l_2 \dot{\tt} \dot{x_1} \cos{\tt} + l_2^2 \dot{\tt}^2 \cos^2{\tt}
\right)+
\left(
  \dot{y_1}^2 + 2 l_2 \dot{\tt} \dot{y_1} \sin{\tt} + l_2^2 \dot{\tt}^2 \sin^2{\tt}
\right) \\

&=&
  \dot{x_1}^2 + \dot{y_1}^2 + 2 l_2 \dot{\tt}
  \left(
  \dot{x_1} \cos{\tt} + \dot{y_1} \sin{\tt}
  \right) + l_2^2 \dot{\tt}^2 \\
  
&=&
  \dot{x_1}^2 + \dot{y_1}^2 + 2 l_2 \dot{\tt}
  \left(
  \dot{x}\cos{\tt} + l_1 \dot{\to}\cos{\to} \cos{\tt} + l_1 \dot{\to}\sin{\to} \sin{\tt}
  \right) + l_2^2 \dot{\tt}^2 \\

&=&
  \dot{x_1}^2 + \dot{y_1}^2 + 2 l_2 \dot{\tt}
  \left(
  \dot{x}\cos{\tt} + l_1 \dot{\to}\cos{(\to - \tt)}
  \right) + l_2^2 \dot{\tt}^2 \\

&=&
  \dot{x_1}^2 + \dot{y_1}^2 + l_2^2 \dot{\tt}^2 + 2 l_2 \dot{\tt}\dot{x}\cos{\tt} + 2 l_1 l_2 \dot{\to}\dot{\tt} \cos{(\to - \tt)}\\

\end{eqnarray}


このとき、運動エネルギーTは、
\begin{eqnarray}
T &=&
\frac{m_1}{2}
\left(
  \dot{x_1}^2 + \dot{y_1}^2
\right)+
\frac{m_2}{2}
\left(
  \dot{x_2}^2 + \dot{y_2}^2
\right) \\

&=&
\frac{m_1}{2}
\left(
  \dot{x_1}^2 + \dot{y_1}^2
\right)+
\frac{m_2}{2}
\left(
  \dot{x_1}^2 + \dot{y_1}^2 + l_2^2 \dot{\tt}^2 + 2 l_2 \dot{\tt}\dot{x}\cos{\tt} + 2 l_1 l_2 \dot{\to}\dot{\tt} \cos{(\to - \tt)}
\right)\\

&=&
\frac{M}{2}
\left(
  \dot{x_1}^2 + \dot{y_1}^2
\right)+
\frac{m_2}{2}
\left(
  l_2^2 \dot{\tt}^2 + 2 l_2 \dot{\tt}\dot{x}\cos{\tt} + 2 l_1 l_2 \dot{\to}\dot{\tt} \cos{(\to - \tt)}
\right)\\

&=&
\frac{M}{2}
\left(
  \dot{x}^2 + 2 l_1 \dot{\to} \dot{x} \cos{\to} + l_1^2 \dot{\to}^2
\right)+
\frac{m_2}{2}
\left(
  l_2^2 \dot{\tt}^2 + 2 l_2 \dot{\tt}\dot{x}\cos{\tt} + 2 l_1 l_2 \dot{\to}\dot{\tt} \cos{(\to - \tt)}
\right) \\

\end{eqnarray}

また、ポテンシャルUは、
\begin{eqnarray}
  U &=& -m_1 g y_1  -m_2 g y_2 \\
  &=& -M g y_1 + m_2 g l_2 \cos{\tt} \\
  &=& M g l_1 \cos{\to} + m_2 g l_2 \cos{\tt}
  \end{eqnarray}

ゆえに、ラグランジアン\lagは、
\begin{eqnarray}
  \lag &=& T-U \\

  &=&
  \frac{M}{2}
  \left(
    \dot{x}^2 + 2 l_1 \dot{\to} \dot{x} \cos{\to} + l_1^2 \dot{\to}^2
  \right)+
  \frac{m_2}{2}
  \left(
    l_2^2 \dot{\tt}^2 + 2 l_2 \dot{\tt}\dot{x}\cos{\tt} + 2 l_1 l_2 \dot{\to}\dot{\tt} \cos{(\to - \tt)}
  \right) -M g l_1 \cos{\to} - m_2 g l_2 \cos{\tt} \\

  &=&
  \frac{M}{2}
  \left(
    \dot{x}^2 + 2 l_1
    \left(
      \dot{\to} \dot{x} - g
    \right)
    \cos{\to} + l_1^2 \dot{\to}^2
  \right)+
  \frac{m_2}{2}
  \left(
    l_2^2 \dot{\tt}^2 + 2 l_2 \left( \dot{\tt}\dot{x} - g \right) \cos{\tt} + 2 l_1 l_2 \dot{\to}\dot{\tt} \cos{(\to - \tt)}
  \right) \\
  \end{eqnarray}