equal_l2’s blog

※記載されている内容の正確性は保証しませんが、間違いを指摘していただければ直します。

離散フーリエ変換への道 (1) フーリエ級数展開

離散フーリエ変換を勉強することにしたので、勉強したことをメモしておく。

フーリエ級数展開とは

任意の周期関数を\sin関数と\cos関数の組み合わせで展開する方法。

周期2\piの関数のフーリエ級数展開

周期2\piの関数f(x)は次のようにフーリエ級数展開できる。

\displaystyle
f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})

係数a_n,b_n \in \mathbb{R}は次のように求められる。

\begin{align}
a_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(y)\cos{ny} \ \mathrm{d}y \\
b_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(y)\sin{ny} \ \mathrm{d}y
\end{align}

本によっては積分区間が[0,2\pi]のものがあるが、積分区間の大きさが2\piであれば何でも良いらしい。
ネットで証明を見つけたので載せておく。

積分な周期2\piの関数g(x)について\int_{0}^{2\pi} g(x) \ \mathrm{d}x = \int_{a}^{a+2\pi} g(x) \ \mathrm{d}xを示す。

 a+b=2k\piとなるようなk \in \mathbb{Z}, \ b \in \{x\in\mathbb{R} | 0 \leq x \lt 2\pi\}を考えると、
 
\begin{align}
\int_{a}^{a+2\pi} g(x) \ \mathrm{d}x
&= \int_{a}^{a+b} g(x) \ \mathrm{d}x + \int_{a+b}^{a+2\pi} g(x) \ \mathrm{d}x \\
&= \int_{a}^{2k\pi} g(x) \ \mathrm{d}x + \int_{2k\pi}^{a+2\pi} g(x) \ \mathrm{d}x \\
&= \int_{a}^{2k\pi} g(x) \ \mathrm{d}x + \int_{2k\pi-2\pi}^{a} g(x) \ \mathrm{d}x \\
&= \int_{2k\pi-2\pi}^{2k\pi} g(x) \ \mathrm{d}x\\
&= \int_{0}^{2\pi} g(x) \ \mathrm{d}x\\
\end{align}
よって、周期2\piの関数g(x)の定積分積分区間の大きさが2\piであれば同じである。

周期2\piの関数f(x)\sin関数や\cos関数の積は、周期2\piの関数である。
よって、フーリエ係数は積分区間が2\piであれば積分区間によって変化しない。

周期2L \ (L \lt 0)の関数のフーリエ級数展開

周期2Lの関数f(x)は次のようにフーリエ級数展開できる。

\displaystyle
f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{\frac{n\pi x}{L}}+b_n\sin{\frac{n\pi x}{L}})

係数a_n,b_n \in \mathbb{R}は次のように求められる。

\begin{align}
a_n &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(y)\cos{\frac{n\pi y}{L}} \ \mathrm{d}y \\
b_n &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(y)\sin{\frac{n\pi y}{L}} \ \mathrm{d}y
\end{align}

これらの式は、h(t)=f(Lt/\pi)なる周期2\piの関数のフーリエ級数展開を考えてやると導出できる。

複素フーリエ級数展開

今まで扱ってきたフーリエ級数展開に、オイラーの公式やド・モアブルの公式などをうまく作用させてやると、違う形のフーリエ級数展開が得られる。

周期2\piの関数f(x)は次のようにもフーリエ級数展開できる。
\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}
係数c_n \in \mathbb{C}は次のように求められる。
\displaystyle c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(y) e^{-iny} \ \mathrm{d}y

周期2Lの場合も同様に、
\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in(\pi/L)x}
\displaystyle c_n = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(y) e^{-in(\pi/L)y} \ \mathrm{d}y