2016-03-31 離散フーリエ変換への道 (1) フーリエ級数展開 離散フーリエ変換を勉強することにしたので、勉強したことをメモしておく。 フーリエ級数展開とは 任意の周期関数を関数と関数の組み合わせで展開する方法。 周期の関数のフーリエ級数展開 周期の関数は次のようにフーリエ級数展開できる。 係数は次のように求められる。 本によっては積分区間がのものがあるが、積分区間の大きさがであれば何でも良いらしい。 ネットで証明を見つけたので載せておく。 可積分な周期の関数についてを示す。となるようなを考えると、 よって、周期の関数の定積分は積分区間の大きさがであれば同じである。周期の関数と関数や関数の積は、周期の関数である。 よって、フーリエ係数は積分区間がであれば積分区間によって変化しない。 周期の関数のフーリエ級数展開 周期の関数は次のようにフーリエ級数展開できる。 係数は次のように求められる。 これらの式は、なる周期の関数のフーリエ級数展開を考えてやると導出できる。 複素フーリエ級数展開 今まで扱ってきたフーリエ級数展開に、オイラーの公式やド・モアブルの公式などをうまく作用させてやると、違う形のフーリエ級数展開が得られる。周期の関数は次のようにもフーリエ級数展開できる。 係数は次のように求められる。 周期の場合も同様に、