離散フーリエ変換への道 (3) 離散時間フーリエ変換

離散時間フーリエ変換

離散集合 $f[n]$ を考える。

ここで、 $f[n]$ の各要素は等間隔に増大する変数 $x[n]$ に対応するものとする。
この対応を $f(x[n])=f[n]$ とする。
ただし、 $x[0]=0$ とする。

今、変数 $x[n]-x[n-1] = \Delta x$ とすると、
$x[n]=n \Delta x$
と書ける。

離散関数 $f(x[n])$ を可積分な連続関数 $f(x)$ として扱うには、各サンプルにデルタ関数を掛けて
$\displaystyle f(x) = \sum^{\infty}_{n=-\infty} f[n] \delta(x-x[n])$

あとはこの関数をフーリエ変換して、
$\begin{align} F(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(y) e^{-i \omega y} \ \mathrm{d}y \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \sum^{\infty}_{n=-\infty} f[n] \delta(x-x[n]) \right] e^{-i \omega y} \ \mathrm{d}y \\ &= \sum^{\infty}_{n=-\infty} f[n] e^{-i \omega x[n]} \\ &= \sum^{\infty}_{n=-\infty} f[n] e^{-i \omega n \Delta x} \end{align}$

ここで $\omega \Delta x$ を $\omega$ として再定義すると、
$\displaystyle F(\omega) = \sum^{\infty}_{n=-\infty} f[n] e^{-i \omega n}$
この変換を離散時間フーリエ変換という。

離散時間フーリエ逆変換

$F(\omega) = \displaystyle \mathcal{F}\left[\sum^{\infty}_{n=-\infty} f[n] \delta(x-x[n])\right]$
であることから、この両辺をフーリエ逆変換すれば
$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=-\infty} f[n] \delta(x-x[n]) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i \omega x} \mathrm{d}\omega$
となる。

この式から元の離散集合 $f[n]$ を取り出すには、 $x = x[n]$ となるような積分で集合を作ればよい。
ただし、 $F(\omega)$ は項 $e^{-i \omega n}$ を含むことから $\omega$ について周期 $2\pi$ の周期性を持つので、積分範囲の大きさは $2\pi$ でよい。
ゆえに、離散時間フーリエ逆変換の式は、
$\displaystyle f[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} F(\omega) e^{i \omega n} \mathrm{d}\omega$
となる。