離散フーリエ変換への道 (2) フーリエ変換

フーリエ変換

周期 $2L$ の関数に対する複素フーリエ級数展開の式は次のようなものであった。
$\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in(\pi/L)x}$
$\displaystyle c_n = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(y) e^{-in(\pi/L)y} \ \mathrm{d}y$

係数を級数の式へ代入すると、
$\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \left[ \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(y) e^{-in(\pi/L)y} \ \mathrm{d}y \right] e^{in(\pi/L)x}$

これを非周期関数に適用できるようにするには、 $L \rightarrow \infty$ の極限をとればよい。
$\omega_n = n(\pi/L), \Delta\omega = \omega_n - \omega_{n-1} = \pi/L$ を導入すると、
$\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \left[ \frac{1}{2\pi} \int_{-L}^{L} f(y) e^{-i \omega_n y} \ \mathrm{d}y \right] e^{i \omega_n x} \Delta\omega$

いま、リーマン積分の定義
$\displaystyle \lim_{\Delta\omega \rightarrow 0} \sum_{n=-\infty}^{\infty} g(\omega_n) \Delta \omega = \int_{-\infty}^{\infty} g(\omega) \mathrm{d} \omega$
を適用して和を積分にしてやると、

$\displaystyle f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(y) e^{-i \omega y} \ \mathrm{d}y \right] e^{i \omega x} \mathrm{d}\omega$

これは、次のような2本の式として書き直せる。
$\begin{align} F(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(y) e^{-i \omega y} \ \mathrm{d}y \\ f(x) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i \omega x} \mathrm{d}\omega \end{align}$
$F(\omega)$ を $f(x)$ のフーリエ変換という。
$f(x)$ を $F(\omega)$ の逆フーリエ変換という。
フーリエ変換を行う写像を $\mathcal{F}$ 、逆フーリエ変換を行う写像( $\mathcal{F}$ の逆写像)を $\mathcal{F}^{-1}$ と表す。
すなわち、 $\mathcal{F}\left[f(x)\right] = F(\omega)$ , $\mathcal{F}^{-1}\left[F(\omega)\right] = f(x)$