常微分方程式の数値解法(1) 差分

常微分方程式を数値的に解くためには、積分を離散的に扱う必要がある。

まず、その準備として関数の差分という概念を導入する。

差分は汎関数(のようなもの?)で、3種類ある。

前進差分 $\Delta_h[x](t) = x(t + h) - x(t)$

後退差分 $\nabla_h[x](t) = x(t) - x(t-h)$

中央差分 $\delta_h[x](t) = x(t+\frac12 h)-x(t-\frac12 h)$

十分に小さい $h$ について、上の差分を $h$ で割れば微分 $\frac{dx}{dt}$ の近似になる。
つまりは、
$\displaystyle\begin{eqnarray} \frac{dx}{dt} &=& \frac{x(t + h) - x(t)}{h} \\ &=& \frac{x(t) - x(t-h)}{h} \\ &=& \frac{x(t+\tfrac12h)-x(t-\tfrac12h)}{h} \end{eqnarray}$