離散フーリエ変換への道 (4) 離散フーリエ変換

離散時間フーリエ変換では、逆変換が離散化されていない。

$f[n]$ を周期 $N$ の周期列とする。
これを離散時間フーリエ変換によって周期 $2\pi$ で値が $\frac{2\pi}{N}$ ごとに存在する離散関数に写す。

離散関数をデルタ関数の和で連続関数 $F(\omega)$ として表す。
$\displaystyle F(\omega) = \sum^{\infty}_{n=-\infty} c_n \delta(\omega-\frac{2\pi n}{N})$
( $c_n$ は適当な係数)

この式を離散時間フーリエ逆変換の式
$\displaystyle f[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} F(\omega) e^{i \omega n} \mathrm{d}\omega$
に代入すると、
$\begin{align} f[n] &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} F(\omega) e^{i \omega n} \mathrm{d}\omega \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left[ \sum^{\infty}_{k=-\infty} c_k \delta(\omega-\frac{2\pi k}{N}) \right] e^{i \omega n} \mathrm{d}\omega \\ &= \frac{1}{2\pi} \sum^{N/2}_{k=-N/2} c_k e^{i \frac{2\pi k}{N} n} \\ &= \frac{1}{2\pi} \sum^{N-1}_{k=0} c_k e^{i \frac{2\pi k}{N} kn} \end{align}$